Funktio

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

Tämä artikkeli käsittelee termin merkitystä matematiikassa. Ohjelmoinnissa aliohjelmia nimitetään tietyissä tilanteissa funktioksi.

Funktio eli kuvaus on matematiikan käsite, jolla pyritään yleensä kuvaamaan riippuvuuksia kahden suureen välillä. Ideana on se, että jokin suure selittää toista suuretta jonkin säännön avulla. Tätä selittävää sääntöä kutsutaan funktioksi.

Määriteltäessä täsmällisesti funktion käsitettä tarvitaan joukko-opillisia peruskäsitteitä. Määrittelyssä ajatellaan, että nämä selittävät muuttujat kootaan joukoksi, ns. lähtö- eli määrittelyjoukoksi, ja sitten asetetaan jokin toinen muuttujien joukko, ns. maali- eli arvojoukko, jonka alkioita nämä määrittelyjoukon alkiot voisivat selittää jonkin säännön avulla. Funktion ajatellaan tällöin olevan jokin sääntö, että jokaiseen määrittelyjoukon alkioon tulee liitettyä täsmälleen yksi arvojoukon alkio. Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa määrittelyjoukoksi nelihenkinen perhe. Tämä on siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Tämän jälkeen asetetaan arvojoukoksi kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Nyt koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille.

Formaalimmin siis jos A ja B ovat joukkoja, niin funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden maalijoukon B alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla $A \rightarrow B$ .

Yleensä funktiolle annetaan lisäksi jokin nimi. Kun funktio on nimetty, voidaan helpommin tutkia mahdollisia riippuvuuksia määrittelyjoukon ja arvojoukon välillä. Esimerkiksi voidaan tietämällä selittävä alkio suoraan funktion nimen perusteella määrätä arvojoukosta se alkio, jota tämä selittää. Edellä annetussa esimerkissä, jossa saatiin etunimen liittävä funktio, voisi funktion nimi olla vaikka etunimi. Oletetaan vaikka, että perheen isän nimi on "Matti". Nyt siis voimme suoraan funktion etunimi avulla määrätä alkion isä vastaavan alkion arvojoukosta, joka on Matti. Yleensä tätä yhteyttä merkitään etunimi(isä), jossa sulkeisiin laitetaan selittävä muuttuja, ja funktion nimi viereen. Tätä merkintää kutsutaan alkion isä arvoksi kuvauksessa etunimi. Tässä tapauksessa siis arvo etunimi(isä) = "Matti".

Formaalimmassa määritelmässä siis jos nimeäisimme annetun funktion $A \rightarrow B$ vaikka esimerkiksi symbolilla f, niin esimerkiksi alkion $x \in A$ arvo kuvauksessa f on f(x). Yleensä jos tiedämme sekä funktion nimen että määrittely- ja arvojoukot, niin merkitään funktiota täydellisemmin symbolilla $f: A \rightarrow B$ .

Sisällysluettelo

1 Esimerkkejä yleisestä määritelmästä
2 Eksakti määritelmä
3 Esimerkkejä eksaktista määritelmästä
4 Funktion kuvaaja
5 Vektorimuuttujan ja vektoriarvoiset funktiot
6 Funktion määrittelyjoukko
7 Joukkojen alkukuva- ja kuvajoukot kuvauksissa
8 Funktion ydin
9 Funktion ominaisuuksia
10 Katso myös

Esimerkkejä yleisestä määritelmästä

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ on funktio reaalilukujoukolta reaalilukujoukolle. Tässä funktio f liittää jokaiseen reaalilukuun itsensä.

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$ on funktio. Nyt funktio f liittää jokaiseen reaalilukuun neliönsä.

$f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x, y) = x^2 + y^2$ on funktio. Funktio f liittää jokaiseen reaalilukupariin koordinaattien neliöiden summan.

Eksakti määritelmä

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoon jälleen A ja B joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko $f \subset A \times B$ on funktio jos sille pätee ehto

$(x,y) \in f \Leftrightarrow \forall z \neq y : (x,z) \notin f.$

Toisin sanoen pari (x,y) on funktion f alkio jos ja vain jos jokaisella alkiosta y poikkeavilla alkioilla z pari (x,z) ei ole funktion f alkio. Siispä funktiossa kukin $A$ :n alkio esiintyy tarkalleen kerran $f$ :n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista.

Esimerkkejä eksaktista määritelmästä

Olkoon joukko $A = {1,2}$ ja joukko $B = {1,2,3}$ . Nyt näiden karteesinen tulo on joukko $A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$ .

Funktiot joukossa $A \times B$ ovat osajoukot:

$F 1 = {(1,1),(2,1)}$ eli $F_1 : A \rightarrow B, F_1(x) = 1$
$F 2 = {(1,1),(2,2)}$ eli $F_2 : A \to B, F_2(x) = x$
$F 3 = {(1,1),(2,3)}$ eli $F_3 : A \to B, F_3(x) = 2x - 1$
$F 4 = {(1,2),(2,1)}$ eli $F_4 : A \to B, F_4(x) = 3 - x$
$F 5 = {(1,2),(2,2)}$ eli $F_5 : A \to B, F_5(x) = 2$
$F 6 = {(1,2),(2,3)}$ eli $F_6 : A \to B, F_6(x) = x + 1$
$F 9 = {(1,3),(2,3)}$ eli $F_7 : A \to B, F_7(x) = 3$

Funktion kuvaaja

Funktion f(x)=x kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos $f : A \rightarrow B$ on funktio, niin sen kuvaaja on karteesinen tulon $A \times B$ osajoukko

$\{ (x,f(x)) : x \in A \}.$

Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista.

Esimerkiksi funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ , kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon $\R \times \R$ osajoukko

$\{ (x,x) : x \in \R \}.$

Tässä tapauksessa koska joukko $\R \times \R$ on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus $\R^2$ , niin voidaan funktion f kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Funktion kuvaajan määritelmästä lisäksi nähdään, että funktion kuvaaja on itse asiassa sama kuin kyseinen funktio määriteltynä karteesisen tulon osajoukkona.

Vektorimuuttujan ja vektoriarvoiset funktiot

Funktio, jonka arvo lasketaan yhden muuttujan sijaan useasta muuttujasta, on vektorimuuttujan funktio. Funktion käsittelemien $n$ :n muuttujan ajatellaan muodostavan $n$ -ulotteisen vektorin. Kyseinen vektori on alkio joukossa, joka on joukkojen, joihin vektorin alkiot kuuluvat, karteesinen tulo. Esimerkiksi ilmanpaine tietyssä paikassa ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio: lukuparin $(x, y)$ yksikäsitteinen kuva on niiden summa $x + y$ .

Vastaavasti funktion arvo voi olla yhden alkion sijaan useita alkioita. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona. Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus

$f: \mathbb{R} ^4 \rightarrow \mathbb{R} ^3$ .

Funktion määrittelyjoukko

Funktion arvo voi joillain syötteen arvoilla olla määrittelemätön. Tällöin syöte ei kuulu funktion määrittelyjoukkoon.

Voidaan esimerkiksi määrittää seuraava funktio: $\forall x \in \mathbf{Q}:f(x) = 1$ . Jos x:n arvoksi valitaan vaikkapa pii, joka ei ole rationaaliluku, on f:n arvo määrittelemätön. Funktion arvo on määritelty jos ja vain jos syöte kuuluu funktion määrittelyjoukkoon eli lähtöjoukkoon, jota merkitään Suomessa usein $\mathbf{M}_f$ . Vastaavasti arvo- eli maalijoukon merkkinä on $\mathbf{A}_f$ .

Funktio voidaan määritellä paloittain, jolloin funktion arvo kiusallisissa erikoistapauksissa (joita ilmenee usein nollan kanssa) voidaan määritellä erikseen. Hyvä esimerkki tästä on kertoma. Luvun n kertoma $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot1$ n:n ollessa positiivinen kokonaisluku. Selvästikään määritelmästä ei saada nollan kertomaa, joten se on määritelty erikseen: $0! = 1$ . Tällaisia erikoismääritelmiä tehdään vain jos se on tarpeellista ja perusteltua.

Yksi tavallisimmista määrittelemättömyyksistä on osamäärä, jossa jakajana on nolla. Tällaisesta osamäärästä käytetään merkintää $\tilde{\infty}$ , jos jaettavana on jokin kompleksiluku. Tällaisen kompleksiluvun itseisarvo on ääretön ja argumenttikulma tuntematon. Jos käsittelyssä on vain yksi positiivisia reaalilukuja, voidaan perustellusti sanoa, missä kompleksitason suunnassa ääretön on.

Jos funktion arvo on määrittelemätön, ei sitä saa käyttää missään laskutoimituksissa. Aina on syytä varmistaa, että funktion syöte kuuluu sen määrittelyjoukkoon.

Joukkojen alkukuva- ja kuvajoukot kuvauksissa

Funktioita tarkastellessa usein tulee esille funktioita, joilla kaikkia arvojoukon alkioita ei voi selittää määrittelyjoukon alkioiden avulla. Vastaavasti on olemassa funktioita, joilla kaksi eri määrittelyjoukon alkiota voi selittää samaa arvojoukon alkiota. Näiden tilanteiden tutkimusta varten on kehitetty joukkojen alkukuva- ja kuvajoukot.

Olkoon seuraavassa $f : X \rightarrow Y$ funktio.

Joukon $A \subset X$ kuva kuvauksessa f on joukko

$fA = \{ f(x) : x \in A \}.$

Funktion kuva on siis arvojoukon Y osajoukko ja se koostuu niistä Y:n alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon A alkiot kuvautuvat kuvauksessa f. Jos asetamme osajoukoksi A koko määrittelyjoukon X, ei välttämättä vastaava kuvajoukko fX ole koko arvojoukko. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$ , $f (x) = x 2$ , määrittelyjoukon kuva $f\R = [0,+\infty[$ , joka on arvojoukon $\R$ aito osajoukko.

Joukon $B \subset Y$ alkukuva kuvauksessa f on joukko

$f^{-1}B = \{ x \in X : f(x) \in B \}.$

Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon X osajoukko ja se koostuu niistä X:n alkioista, jotka kuvautuvat joukon B alkioille kuvauksessa f. Jos nyt asetetaan osajoukoksi B koko arvojoukko Y, on tällöin vastaava alkukuva koko määrittelyjoukko. Tämä johtuu siitä, että funktion määriteltiin kuvaavan määrittelyjoukon alkioita arvojoukon alkioille ja tässä tapauksessa arvojoukko on tämä vastaava osajoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin arvojoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$ , $f (x) = x 2$ , arvojoukon osajoukon $[0,+\infty[$ alkukuva on $\R$ eli koko määrittelyjoukko.

Funktion ydin

Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.

Olkoon seuraavassa G ja G´ ryhmiä ja $f : G \rightarrow G'$ jokin funktio.

Funktion f ydin on joukko

$\mbox{Ker} (f) = \{ x \in G : f(x) = 0_{G'} \},$

missä merkintä $0 G'$ tarkoittaa arvojoukon G´ nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$ , $f (x) = x 2$ , ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä $f (x) = 0$ jos ja vain jos $x = 0$ .

Funktion ominaisuuksia

Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia:

Katso myös

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio

Luokka: Joukko-oppi

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.

Giant Panda

Mercedes Car

This site monitored by SitePinger.net